一、向量

這(zhe)次我(wo)們繼續聊一下向量。

向量可以理解為一個有方向的量。

它既有大小（長度），又有方向（指向哪里）。

生(sheng)活中很多東西都可以用(yong)向量描述，比如：

• ?? 速度（你開車 60 km/h 向東）
• ??? 風（風速 5 m/s 向北）
• ?? 力（用 10 牛頓的力推箱子向右）

坐標表示

在數學(xue)里(li)，我(wo)們(men)通常(chang)用坐標來表(biao)示(shi)向量；而在幾何空間中，常(chang)常(chang)用箭頭來表(biao)示(shi)向量，箭頭的(de)長度(du)表(biao)示(shi)大小（模(mo)），方向表(biao)示(shi)向量的(de)方向。

• 在二維空間中，一個向量表示如下：

其中 x 表示水平方向分量，y 表示豎直方向分量。
向量的模長為：\(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

• 在三維空間中，一個向量表示如下：

其中 x, y, z 分別是沿三個坐標軸的分量。
向量的模長為：\(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

• 在N維空間中，一個向量表示如下：

其中 x1...xn 分別是各個維度的分量。
向量的模長為：\(|\vec{v}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} \\\)

二、加減法

向量加法

設定：

那么有：

加法(fa)的幾何意義(yi)，可以使用三角(jiao)形(xing)法(fa)則或平(ping)行四邊形(xing)法(fa)則來說明：

簡單的可以理解為，\(\vec{a}+\vec{b}\) 就是從坐標原點沿著\(\vec{a}\)行進后，再沿著\(\vec{b}\)行進。

應用示例

假定有兩股方向的力(li)，如(ru)下：

\(\vec{F_1} = (3, 4), \quad \vec{F_2} = (1, 2)\)

那么這(zhe)兩股力的合力為：

\(\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (3+1, 4+2) = (4, 6)\)

向量減法

設定：

那么有：

加法(fa)的(de)幾(ji)何意義，可(ke)以使(shi)用三角(jiao)形法(fa)則(ze)或平行四邊形法(fa)則(ze)來說明：

簡單的可以理解為，\(\vec{a}-\vec{b}\) 就是從b的終點開始，朝著\(\vec{a}\)的終點行進的向量。

應用示例

在船的航行過(guo)程中，可(ke)以利用(yong)向量的減法來獲得船和水流的相(xiang)對速度。

假定(ding)船的速(su)度向量為：

\(\vec{v}_{船} = (8, 0) \quad (\text{向東 8 m/s})\)

水流速度向量為：

\(\vec{v}_{水} = (3, 1) \quad (\text{向(xiang)(xiang)東 3 m/s，向(xiang)(xiang)北 1 m/s})\)

那么船相對水流(liu)的速度向量為：

\(\vec{v}_{相對} = (8-3, 0-1) = (5, -1)\)

表(biao)示向(xiang)(xiang)東(dong) 5 m/s、向(xiang)(xiang)南 1 m/s。

三、向量內積

向量的內積又稱為點積（Dot Product），內積是兩個向量對應分量相乘后求和的一個標量值。

設定：

那么有：

從幾何意義上講(jiang)，向量的內積(ji)還可以表示如下：

具體的(de)證明可(ke)以參考下圖，將(jiang)坐(zuo)標系進行旋(xuan)轉后，可(ke)完成推理：

其(qi)中 ?θ 表示兩個向(xiang)量的夾(jia)角(jiao)，根據余弦定理可(ke)以(yi)得出：

• 假定模長不變，夾角越小，內積則越大
• 當夾角為90度時（兩個向量垂直），此時內積為0
• 內積的本質等同于向量的投影和模長的乘積
• 坐標旋轉時，內積保持不變

應用示例

我(wo)們在電商平臺上(shang)瀏覽產品(pin)(pin)詳情時(shi)，經常(chang)會(hui)(hui)看到"相似產品(pin)(pin)"這樣的(de)頁簽，其中會(hui)(hui)給我(wo)們推(tui)薦相關的(de)產品(pin)(pin)。

這種商品推薦的場景便可以基于"余弦相似度"來實現，余弦相似度的核心是僅考慮向量的方向一致，忽略模長的影響。具體實現如下：

1. 將商品(pin)信息(xi)特征化表述，包括(kuo)：

   • 類目
   • 品牌
   • 價格區間
   • 顏色 / 尺寸 / 材質
   • 商品標題/描述
   • 圖片特征

2. 特征向量歸一化

   上述的(de)商品(pin)特征可以基于Embedding、CNN等(deng)算法來(lai)提取(qu)為(wei)特征值(zhi)。

   這(zhe)些特征值(zhi)拼接后形成一(yi)個統一(yi)的商品(pin)向量，如下(xia)：

   \[\vec{g} = [x_{類目}, x_{品牌},x_{價格},x_{尺寸},x_{顏色},x_{圖譜特征}..] \]

   由于(yu)不同維度(du)的特(te)征值其模長無法統(tong)一，我們(men)需要將其進行歸(gui)一化（L2歸(gui)一）：

   對于其中的 \(x_k\)，其歸一后的值為：

   \[X_k = \frac{x_k}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}} \]

   L2歸一(yi)化使用歐幾里得(de)范數來計算，最(zui)終得(de)到特征向量為：

   \[\vec{G} = [X_{類目}, X_{品牌},X_{價格},X_{尺寸},X_{顏色},X_{圖譜特征}..] \]

   歸一化(hua)后，∥G∥=1，余弦(xian)相似度就簡化(hua)成兩個單位向量的點積(ji)，只(zhi)比較方向（特(te)征分布模式），消(xiao)除(chu)了特(te)征值(zhi)大小的影響。

3. 計算商品特征(zheng)向(xiang)量的(de)相(xiang)(xiang)似度，獲得最相(xiang)(xiang)似的(de)N個商品

   通(tong)過計算(suan)向量的(de)點積來比較相似度：$ simulaty = \vec{G} \cdot \vec{G2}$

向(xiang)(xiang)量點積在(zai)機器學習中常(chang)用(yong)于評估特(te)征的方向(xiang)(xiang)相似性

四、向量外積

向量的外積又稱為叉積（Cross Product），兩個向量的外積是一個同時垂直于兩者的向量。

設定：

那么有：

• 向量 \(\vec{c}\)的模長：$\vec{c} = ∣\vec{a}∣∣\vec{b}∣sin?θ $，在(zai)幾(ji)何(he)意義上等同(tong)與兩(liang)個(ge)向(xiang)量為(wei)邊的平行四邊形的面積。

• 向量 \(\vec{c}\)的方(fang)向：垂(chui)直于兩個向量構成(cheng)的平面。

如下圖所示：

向量 \(\vec{c}\)的方向除了垂直之外，還需要遵循右手螺旋定則，也就是對于 \(\vec{a} × \vec{b} = \vec{c}\) 來說，右手四指方向從 a 轉向 b，大拇指所指方向就是 c 的方向。所以， \(\vec{a} × \vec{b}\) 和 \(\vec{b} × \vec{a}\) 的(de)(de)結果是相反的(de)(de)，即(ji)向量(liang)外(wai)積不滿足交換律。

從幾何(he)圖形上看，向(xiang)量(liang)的外積可以垂直于兩個向(xiang)量(liang)組成的平面(mian)，當向(xiang)量(liang)平行（共線）時，向(xiang)量(liang)的外積為0。

需(xu)要(yao)注(zhu)意(yi)的(de)(de)是，向量的(de)(de)外(wai)積(ji)僅適(shi)用(yong)于(yu)三維(wei)圖形，在四(si)維(wei)及更(geng)高維(wei)空(kong)間中，垂直于(yu)兩(liang)個向量的(de)(de)方向不唯一，而是一個高維(wei)子空(kong)間，因此無法用(yong)一個單(dan)一向量來表示。

應用示例

物理學上，我(wo)們通過力矩(ju)（Torque）來(lai)描述一種"讓物體轉(zhuan)起(qi)來(lai)的能力"。

比如：

你(ni)用扳手擰螺(luo)絲，用力的(de)大小、角度和離(li)螺(luo)絲中心的(de)距離(li)都會影響(xiang)擰動的(de)效果。

同樣的(de)力，扳(ban)手(shou)越長（離中心越遠），越容易擰動(dong)——因為力矩更(geng)大。

力矩的公式如下：

• r 是(shi)從(cong)旋(xuan)轉中心到施力點(dian)的位(wei)置向量

• ??：施加的作用力

力矩是(shi)向(xiang)量(liang) r 和向(xiang)量(liang) F的(de)外積向(xiang)量(liang)：

• 力矩的(de)(de)方(fang)向(xiang)：由右(you)手(shou)定則決(jue)定，表示(shi)旋轉軸的(de)(de)方(fang)向(xiang)

• 力矩的大小：等于 \(|\vec{r}| \cdot |\vec{F}| \cdot \sin\theta\)，也(ye)就(jiu)是力度、垂直距離、和角度三(san)者(zhe)疊加的結果。

五、小試牛刀

下(xia)面使用 numpy 來實現(xian)本文(wen)提到的向量(liang)(liang)加(jia)減(jian)法、向量(liang)(liang)內(nei)積和(he)外積計算(suan)。

代碼示例

import numpy as np

# 定義兩個三維向量
a = np.array([3, 4, 0])
b = np.array([4, 0, 3])

# 1?? 向量加法
add = a + b
print("加法 a + b =", add)

# 2?? 向量減法
sub = a - b
print("減法 a - b =", sub)

# 3?? 向量內積（點積）
dot = np.dot(a, b)
print("內積 a · b =", dot)

# 4?? 特征歸一化（L2歸一）
a_norm = a / np.linalg.norm(a)
b_norm = b / np.linalg.norm(b)
print("歸一化后的 a =", a_norm)
print("歸一化后的 b =", b_norm)

# 5?? 歸一后的余弦相似度
cos_sim = np.dot(a_norm, b_norm)
print("歸一后的余弦相似度 =", cos_sim)

# 6?? 向量外積（叉積）
cross = np.cross(a, b)
print("外積 a × b =", cross)

執行上述程序(xu)，輸出結果如下：

加法 a + b = [7 4 3]
減法 a - b = [-1  4 -3]
內積 a · b = 12
歸一化后的 a = [0.6 0.8 0. ]
歸一化后的 b = [0.8 0.  0.6]
歸一后的余弦相似度 = 0.48
外積 a × b = [ 12  -9 -16]

六、小結

向(xiang)量(liang)(liang)的(de)概念早在(zai)中學(xue)數學(xue)、物理(li)學(xue)中就已(yi)經(jing)能接觸到了(le)(le)，理(li)解向(xiang)量(liang)(liang)和(he)空間(jian)幾何的(de)結合(he)非常(chang)重要。從最簡單的(de)加(jia)減法(fa)就能體會到基(ji)本相對(dui)量(liang)(liang)的(de)價值；向(xiang)量(liang)(liang)內積(ji)更是各種(zhong)推(tui)薦算法(fa)、特征(zheng)相似度計算的(de)基(ji)礎(chu)范(fan)式，向(xiang)量(liang)(liang)外積(ji)在(zai)機(ji)械工程學(xue)中大(da)行其道等等，這些無一證明了(le)(le)向(xiang)量(liang)(liang)在(zai)現實的(de)數學(xue)應用中的(de)重要地位。