?? Hough變換基礎

一、概述

Hough變換（霍夫變換）是一種經典的形狀檢測算法，廣泛應用于直線、圓、橢圓等幾何圖形的識別中。
其核心思想是：

將圖像空間(jian)(jian)中的點映射(she)到參數(shu)空間(jian)(jian)中，通(tong)過(guo)“投票”機制尋(xun)找最符(fu)合幾何模(mo)型的參數(shu)。

換句話說：

• 圖像空間中：點代表像素。
• 參數空間中：點代表一條可能的幾何形狀（如一條線或一個圓）。
• 若多條參數曲線在參數空間中交于同一點，則說明圖像中存在對應的幾何形狀。

二、直線的Hough變換

1. 直線的表示方式

（1）一般式（易理解但不完備）

• 缺點：當直線垂直于x軸時，斜率 \(k \to \infty\)，表達式失效。

（2）極坐標式（常用形式）

• \(\rho\)：點到原點的距離
• \(\theta\)：該垂線與x軸的夾角

這種表達能統一表示所有直線，不會出現垂直線異常問題。
在這種形式下：

• 圖像空間中的“一條直線”對應參數空間中的“一個點”；
• 圖像空間中的“一個點”對應參數空間中的“一條曲線”。

2. 空間映射關系

對于任意圖像中的邊緣點 \((x, y)\)，其在參數空間 \((\rho, \theta)\) 中滿足：

這條方程表示在參數空間中的一條正弦曲線。
若多個點屬于同一條直線，它們的正弦曲線將相交于同一點，該交點即為直線的參數 \((\rho, \theta)\)。

3. 算法流程

1. 邊緣檢測
   對(dui)圖像執行(xing)邊緣檢測(ce)（如(ru)Canny算(suan)法），提取明顯的邊緣點(dian)。

2. 參數空間定義
   設定 \(\rho\) 和 \(\theta\) 的(de)取值范圍與分辨(bian)率（步長）。

3. 投票累加
   對每個邊緣點，計算所有可能的 \((\rho, \theta)\) 并在累加器矩陣中對應位置投票。

4. 尋找峰值
   累(lei)加器中投票數最高(gao)的點(dian)代表圖像中最可(ke)能存(cun)在的一條直(zhi)線。

5. 反算繪制
   將檢測到的 \((\rho, \theta)\) 反(fan)算為直線方程，在圖(tu)像上(shang)繪制。

4. 原理圖示與理解

• 單個點在參數空間中 → 一條正弦曲線。
• 多個共線點在參數空間中 → 曲線交于同一點。

因(yin)此，通過檢測累(lei)加器中(zhong)(zhong)的峰值即可找出圖像中(zhong)(zhong)的主要直(zhi)線。

三、Hough直線檢測總結

Hough直線檢測本質是一個基于投票的統計過程：

1. 圖像空間的每個邊緣點 → 參數空間的一條曲線；
2. 多個點若共線 → 參數空間曲線交匯；
3. 曲線交點最多的位置即代表一條真實直線。
4. \(\rho\)的最大值為圖像的對角線長度，\(\theta\)則的取值范圍為0-180°。

檢測結果可視化為：

參數空間中最密集的交點 ? 圖像中最明顯的直線(有最多的點在這條直線上)。

Halcon中使用Hough直線檢測

五、Hough圓檢測原理

Hough變換不僅能檢測直線，也可用于圓形檢測。

圓的方程為：

對于圖像中一個邊緣點 \((x, y)\)，若半徑 \(r\) 已知，則圓心 \((a, b)\) 滿足：

因此：

1. 若半徑已知 → 參數空間僅有 \((a, b)\) 兩個維度；
2. 若半徑未知 → 參數空間變為 \((a, b, r)\) 三維；
3. 每個邊緣點對多個 \((a, b, r)\) 值投票；
4. 累加器中投票數最高的點即為可能的圓心與半徑。

五、總結與思考

優點：

• 魯棒性強，不受噪聲或斷裂邊緣影響；
• 能檢測任意方向、大小的幾何形狀。

缺點：

• 參數空間維度高時計算量大；
• 對精度（參數步長）和閾值敏感；
• 投票累加器占用內存較多。

六、應用場景

• 車道線檢測（自動駕駛）
• 圓形/環形目標識別（如螺絲孔、車輪、瞳孔檢測）
• 形狀識別與定位（工業視覺、機器人視覺）

? 總結一句話：

Hough變換是圖像形狀檢測(ce)的“投(tou)票機制(zhi)”，通過從像素空間到(dao)參(can)數空間的映(ying)射(she)，把“點(dian)檢測(ce)”轉化為“峰值(zhi)搜索”。

是(shi)否希望我幫你在文末再(zai)添加(jia)一段“OpenCV實(shi)現Hough直線檢(jian)測(ce)與圓(yuan)檢(jian)測(ce)”的(de)示例代碼說(shuo)明？（Python或(huo)C#版本都可以）